Закон роста рыночной информации

Данная статья посвящена дальнейшему математическому обоснованию известных фактов экономической теории с помощью результатов, известных из принципа наименьшего действия физики.

Эта теория более подробно изложена в моей книге “Energy of Human Action” (Энергия человеческой деятельности).

В ней я показываю, как данный фундаментальный принцип сохранения природы, предложенный сначала умозрительно, а затем и более строго математически в трудах великих ученых, таких как Вильгельм Лейбниц, Пьер Луи Моро де Мопертюи и Леонард Эйлер, объясняет не только фундаментальные физические законы, но и законы экономики и информации.

Данный принцип объясняет экономику с точки зрения закона сохранения человеческой деятельности в виде произведенной им стоимости товарных денег, золота, которое никуда не исчезает, а только накапливается, так же, как и гигантская информация которую они выражают. Такие деньги являются эквивалентом средства и целей, достижение которых всегда требуют материального действия, или затраты энергии во времени.

Для изучения этой связи, рассмотрим прежде всего теорию процентной ставки.

Процентная ставка как макроэкономическая цена

Процентная ставка R, как известно из общей макроэкономической теории, определяется из макроэкономического баланса рыночного спроса и предложения на сбережение. Процентная ставка, сама является рыночной макроэкономической ценой, которая складывается под влиянием множества сил, влияющих на формирование макроэкономических цен. Все они складываются под влиянием всей совокупности микроэкономических цен, в зависимости от действий множества экономических агентов, покупателей и продавцов, инвесторов и сберегателей, которые в каждый момент времени ищут наилучшее применение своих ограниченных природных, трудовых, имущественных, финансовых и производственных ресурсов.

В этой связи, процентная ставка может рассматриваться как макроэкономическая квинтэссенция всех рыночных цен на товары, услуги и активы. Она является единственным в своем роде всеобъемлющим макроэкономическим ценовым сигналом, который включает в себя множество всех остальных цен.

В предыдущих своих статьях на сайте ekonomist.kz, я определил процентную ставку в математическом виде как приращение денег dQ к количеству денег, которые эквивалентны всему количеству товаров и услуг Q, когда-либо созданному экономикой и человеческим обществом:

R = dQ/Q

Поскольку дополнительная стоимость – это макроэкономический показатель, относящийся ко всему рынку, то Q здесь представляет совокупную добавленную стоимость в виде товаров и услуг, созданных и потраченных на потребление, производство или отложенных на сбережение, которое затем будет инвестировано через покупку долговых и долевых финансовых инструментов, акций и облигаций. Данный совокупный объем товарного производства равен предложению денежной массы M.

Q = Σс×q/С, где q – это количество различных товаров, услуг и финансовых инструментов, а постоянные с и С – микро и макроэкономические нормирующие или весовые константы, произведенные на количество товара, услуги или актива q.

В соответствии с данным мной в предыдущих статьях макроэкономическим определением цены или стоимости, P = dQ/dt, дополнительное приращение полезной стоимости равно dQ = P×dt.

dt – это период кредитования в данный момент времени. Он может быть заменен на любой нужный период времени Т.

P = Σp×q/Σс×q = Σp×q/Q – средневзвешенная цена или макроэкономический уровень или индекс цен всех товаров, услуг и финансовых инструментов.

С учетом этого, выражение для ставки процента примет следующий вид:

R = P×T/Q, где P – макроэкономический уровень цен, Т – произвольный период времени, в течении которого создается дополнительный объем стоимости в виде товаров и услуг dQ, а Q – объем сбережения в виде общего объема произведенных экономикой товаров и услуг, которые расходуются на производство, потребление и инвестирование.

Процентная ставка и энтропия

Исходя из формулы P = dQ/dt, мы можем выразить процентную ставку следующим образом:

R = P×T/Q = T×(dQ/dt)/Q = T×dln(Q)/dt.

Интегрируя это выражение по времени от 0 до t, считая, что R и T фиксированы, мы получаем следующее выражение для процентной ставки:

R = (T/t)×ln[Q/Q(0)], где lnx -это функция натурального логарифма x, с основанием в виде числа Эйлера e = 2.71…

Если t = n×T, где n – это число периодов с длительностью времени T, то R = (1/n)×ln[Q/Q(0)].

Эта формула математически эквивалента знаменитой формуле Людвига Больцмана энтропии S = k×lnW, где k – постоянная Больцмана, а W – вероятность образования определенной макроскопической конфигурации сложной системы или структуры, состоящей из множества образующих ее частей.

Процентная ставка и информация

Представленное выше выражение для процентной ставки R содержит макроэкономическое количество Q(t), состоящее из всего множества товаров, услуг и активов, образующих в каждый момент времени tэкономическую рыночную систему.

Отношение Q(t)/Q(0) можно разбить на цепь, состоящую из состояний системы в каждый из предыдущих моментов времени, вплоть до начального: t-1, t-2, t-3, … t₁, t = 0:

Q(t)/Q(0) = [Q(t)/Q(t-1)]×[Q(t-1)/Q(t-2)]×[Q(t-2)/Q(t-3)]… ×[Q(1)/Q(0)].

Такая цепь, каждый множитель которой зависит от состояния предыдущего множителя, называется цепью Маркова.

Тогда R= (1/n)×ln[Q(t)/Q(0)] = (1/n)×∑ln[Q(i)/Q(i-1)], где знак суммирования растет от 1 до n.

Если натуральный ln[Q(i)/Q(i-1)] выразить через двоичный, то получим:

R = (1/n×log₂e)×∑log₂[Q(i)/Q(i-1)] = -(1/n×log₂e)×∑log₂[Q(i-1)/Q(i)]

Если обозначить каждое отношение Q(i-1)/Q(i) как вероятность W(i), которая всегда меньше или равна 1, то соотношение для процентной ставки R приобретен смысл формулы информации Клода Шеннона:

I = -∑p(i)×log₂W(i)

Данная формула имеет смыл количества информации в битах, которую несет с собой вся конфигурация Q(t), которая эволюционно образовалась из ее состояний в предыдущие моменты времени.

Поскольку каждое отношение Q(i-1)/Q(i) меньше или равно 1, что обусловлено ростом производства, его трудоемкости и стоимости, которые неизменно сопровождаются увеличением сложности и объема рыночной информации, то логарифм его по основанию 2 отрицателен, а сумма всех слагаемых с отрицательным знаком положительна и растет к каждым моментом времени.

Таким образом, значение R постоянно растет со временем и представляет собой рост информации. В физике такой рост информации имеет значение роста энтропии или стремления системы к своему наиболее вероятному состоянию или хаосу.

Рынок как квантовый компьютер

Многие шахматисты знают легенду о индийском факире, который попросил дать ему такое количество зерна, которое бы на каждой клетке шахматной доски увеличивалось вдвое:

2¹ + 2² + 2³ + … 2⁶⁴

Этого количество зерна оказалось невообразимо огромным.

Аналогично, можно показать, что количество товаров, услуг и активов также растет по такому же закону в зависимости от момента времени n:

Q(i) = Q(0)×2ⁱ

Здесь i = R×n×log₂e, е – постоянная Эйлера, R – процентная ставка, а n – это момент времени n.

Все количество товаров, услуг и активов, суммарно созданных человечеством, представляет собой гигантское число, аналогичное числу кибитов квантового компьютера. Рынок, состоящий из такого множества агентов, производящих, обменивающих и потребляющих все более сложные и ценные товары, услуги активы, эквивалентен в каждый момент времени гигантскому количеству сложной и разнообразной информации.

Если Q представляют собой конечное количество товарных денег, эквивалентных всему произведенному товарному производству человечества, то они являются квантовым носителем и накопителем всей этой огромной информации.